노력하는 공대생의 공부일지

gpt vs 내가 출제한 문제

djs100201 — Wed, 28 Jan 2026 16:48:44 +0900

몇개의 문제만 풀어보게 시켰다.

프롬포트: 문제 전체 본문 + 예제 입출력다 준 이후에 이 문제 한번 풀어볼래? 풀이 검색해서 하지 말고 너가 생각해서 풀어봐
모델 gpt5.2 thinking 확장

https://www.acmicpc.net/problem/34000

prefixsum의 중심이 최대가 된다는 핵심 아이디어는 찾았으나 변화량이 1이라는걸 못 찾고 bucket/lazy등 여러가지 추천하다가 bucket을 선택한 후 시간초과가 났다.

총 gpt 생각 시간은 풀이 생각에 6분 20초, 코드 작성에 4분 20초 정도 걸려 총 11분정도 걸렸다.

https://www.acmicpc.net/problem/33998

해싱으로 바로 풀어버렸다. 내 정해는 sqrt이용하는 거였지만... 뭐 그거 안써도 되긴 한다.

풀이 시간: 6분 30초

https://www.acmicpc.net/problem/30623

정해대로 풀었다. 풀이 시간: 12분 30초

https://www.acmicpc.net/problem/25182

정해대로 풀었다. 풀이 시간 3분

https://www.acmicpc.net/problem/25491

정해대로 풀었다. 풀이시간 3분

소감:

확실히 1년전보다 훨씬 잘해졌다. 나도 ps할때도 도움 많이 받고 있고 뭐 개발이야 말할것도 없고.

더 발전된 미래가 기대되고 두렵다.

여담으로 빨리 코포를 돌려 핸들에 보라색 빨리 오렌지색으로 복구 해야겠다...

실수 좌표의 직선의 집합 cardinality

djs100201 — Fri, 16 Jan 2026 17:16:20 +0900

계절학기로 늦은 집합론을 들었다.

오늘 혼자 운동하다가 직선이 총 얼마나 있을까라는 생각을 하게 되었다.
베르트랑의 역설을 생각하다가 직선에 대한 집합이 궁금해졌다.

직선은 y=mx+b꼴로 표현되거나, x=c꼴로 표현되는 집합의 합집합이다.
이때 m,b,c는 전부 독립적인 실수 이므로 R*R의 cardinality를 가짐을 알 수 있고 이는 집합론에서 잘 알려진 사실로 |R|과 같다.

또 다른 관점으로 어떤 직선이 있을 때 이 직선을 대표하는 representative를 어떻게 잡을 수 있을지를 생각해보자.

점과 직선에 대한 관점으로 바라보면 좋은데, 원점을 지나는 직선과 지나지 않은 직선으로 생각을 해보자.

1. 원점을 지나는 직선
y=mx꼴이고 m은 실수이므로 |R|개가 존재한다.

2. 원점을 지나지 않는 직선
직선이 다르다면, 원점에서 직선에 내린 수선의 발에 따라 직선이 유일하게 결정된다. 다르게 말하면 RxR위의 어떤 점 (a,b)에서 원점과 (a,b)를 이은 직선에 수직인 직선을 유일하게 그릴 수 있으므로 RxR개가 존재한다.

또 동일하게 |RXR| + |R| 이므로 |R|이 된다.

아래는 gpt로 보기 좋게 한 것..

나를 위한 Separation Axioms 간단 정리

djs100201 — Sat, 15 Nov 2025 14:54:06 +0900

T0: 서로 다른 x,y잡으면 wlog x의 nbd 중에 y를 포함하지 않는 애가 있음

T1: 서로 다른 x,y잡으면 x의 nbd 중에 y를 포함하지 않는 거랑 y의 nbd 중에 x를 포함하지 않는 것이 있음

T2: x,y를 잡으면 서로 겹치지 않은 nbd가 존재

Regular: closed set F와 F에 없는 원소 x를 잡으면 각각 겹치지 않는 nbd가 존재

T3: T2+ Regular

completely Regular: closed set F와 F에 없는 원소 x를 잡으면 f:x->[0,1] 이고 f(x)=0, f(F)=1인 cont map이 존재.

T3+1/2 : T2 completely Regular

Normal: closed set F,G잡으면 겹치지 않는 nbd가 존재

T4: T2 + normal

아래는 GPT

Separation Axioms 정리 (T0 ~ T4)

T0 (Kolmogorov)
서로 다른 두 점 x ≠ y 중 하나는 자신의 열린근방이 다른 점을 포함하지 않는다.

T1 (Fréchet)
서로 다른 두 점 x ≠ y 에 대해

x의 열린근방 중 y를 포함하지 않는 것이 있고
y의 열린근방 중 x를 포함하지 않는 것이 있다.
(모든 {x} 가 closed)

T2 (Hausdorff)
서로 다른 두 점 x ≠ y 에 대해
서로소(open)인 열린근방 U, V 가 존재한다.
x ∈ U, y ∈ V, U ∩ V = ∅.

Regular
닫힌집합 F 와 점 x ∉ F 에 대해
서로소 열린근방 U, V 가 존재한다.
x ∈ U, F ⊂ V, U ∩ V = ∅.

Completely Regular
닫힌집합 F 와 점 x ∉ F 에 대해
연속함수 f : X → [0,1] 가 존재하여
f(x) = 0, f(F) = {1}.

Normal
서로소 두 닫힌집합 F, G 에 대해
서로소 열린근방 U, V 가 존재한다.
F ⊂ U, G ⊂ V, U ∩ V = ∅.

T3 (Regular Hausdorff)
T2 + Regular

T3½ (Tychonoff = Completely Regular Hausdorff)
T2 + Completely Regular

T4 (Normal Hausdorff)
T2 + Normal

Simple Extension

djs100201 — Thu, 6 Nov 2025 23:02:11 +0900

Simple Field Extension F/k를 생각해보자. F=k(a)

1. 이때 a가 albebraic한 원소면 F 는 k[t]/(irr(a,k))과 동형이다. (irr(a,k)는 field k에서의 a의 minimal polynomial)

2. a가 초월적이면 F는 F[t]의 field of fraction과 동형이다.

진짜 매우 엄청 중요한 theorem이다. 1번은 교수님께서 강조하시고 시험/퀴즈에 단골이라서 아예 외워갔었는데 이제 기말고사 공부하다보니 2번도 중요했다.

Proof of 1)

a가 albegraic하면 irr(a,k)가 존재하고 유일하다. (이건 사전지식으로 깔자)

그럼 f(t)=irr(a,k)라고 하면, evaluation homomorphism pi: k[t]->F, g(t)->g(a)를 두자. 어떤 field의 kernel이 (0)이 아닌데, (0이면 trivial field) 그렇다면 k[t]는 pid이니까, ker pi=(irr(a,t))이다. 그런데 ideal ( irr(a,k) )는 k[t]/( irr(a,k) )가 integral domain이니까 prime ideal이고 k[t]가 pid여서 prime ideal 과 maximal ideal은 동치가 된다. 그렇다면 사실 k[t]/( irr(a,k) 는 field이다.

그러면 k[t]/( irr(a,k) )->F로의 homomorphism은 isomorphism이 되고 [F:k]=dim(irr(a,k))를 얻는다.

이게 교과서에 나온 증명이고

이걸 추가로 생각하면 좀 더 쉽다.
2번은 추후에 작성예정..

ICPC 2025 예선 I번 풀이

djs100201 — Mon, 13 Oct 2025 10:28:18 +0900

문제:
정수 -10^7 <= k <=10^7 이 주어진다.

x^2 + px+kp의 해가 모두 정수가 되도록 하는
서로 다른 p의 개수와 합을 구하시오.

한글 문제인데 바로 안 보여서 오래 고민했다..
일반성을 잃지 않고 두 근을 a<=b라고 해보자.

-p=a+b
kp=ab이다.
그런데, -p=a+b<=2*b이다.

따라서 -k=kp/(-p) =ab/(a+b)>=ab/2b=a/2

|a|<=2k이므로 이를 이용하여 작은 근을 brute force 하면 된다.
a가 고정되면 p는 결정적으로 정해진다.

p | pCk (1<k<p)

djs100201 — Wed, 8 Oct 2025 14:59:18 +0900

정수론.pdf

0.48MB

수학적으로 엄밀하게 쓰는걸 잘 못하겠다.

Infinitude of Primes

djs100201 — Wed, 24 Sep 2025 00:31:00 +0900

유명한 정수론 증명:
소수가 유한하다고 가정하고 소수를 나열하자. p1,p2,p3....pn then p1*p2*p3...pn+1 은 어떤 소수로도 나누어지지 않는다.

위상수학적 증명

빠른 노트 2025-09-10 12-00-25.pdf

4.87MB

하 시험에 나올거 같은데 벽느껴지네...
이제는 기저를 배웠으니까 기저를 등차수열로 잡는 것이 굳이 S(a,b)로 잡고 정의할 필요 없이 더 쉽게 증명 할수 있다고 한다.

방학 ~ now 몇몇 대회 결과

djs100201 — Tue, 23 Sep 2025 01:14:42 +0900

UCPC: 예선 14등 / 본선 18등

A번 못 풀었다. 내가 풀어야했던 B번은 풀었고, J번은 보자마자 풂.

A번 못 풀어서 망한줄 알았는데, 생각보다 등수가 높아서 아쉬웠다. 예선은 고점..

SUAPC : 4등

냅색 조건문 부등호 반대로 해서 개망했다. 개트롤 1등공신

SCPC: 수상 x

1,2번 풀고 너무 못 긁었다. 4번에서 젤 쉬운 테케 못 긁고 1시간 버린게 너무 슬펐다. 5번이나 읽을걸

LGCPC: 본선 16등

1,2번 풀고 3번에 20점 4번에 6점 긁었다.
팀노트가 없어서 FFT가 없어서 억울했다. 근데 뭐... 3등안에는 뭘해도 못 들었을 듯

NYPC 코드배틀: 본선 진출
ps대회는 아니긴 한데 To be continued...

Gameaify 해커톤: ㅠㅠ

더 있었던거 같은데 기억이 안난다. 결국 스펙될만할 결과는 못 얻었다.

유리수와 무리수의 조밀성

djs100201 — Mon, 14 Jul 2025 00:20:59 +0900

dense 하다는 것이 뭔지 처음 들어봤다 ... ( 집합론 수강을 해야 할지도)

어떤 집합 S가 실수위에서 조밀하다는 것은 모든 a<b인 두 실수 a,b에 대해서 a<s<b를 만족하는 S의 원소 s가 있다는 뜻이다.

유리수의 조밀성 증명

1<(b-a)n을 만족하는 자연수 n이 존재함은 잘 알려져 있다. (Archimedean principle)
이제 1+an의 자연수 부분을 k라고 하면

k<1+an<bn 이고, k<=an+1<k+1이다. 즉 an<k

즉 an<k<bn 우리는 a<k/n<b로 볼수 있고, k,n은 자연수 이므로 증명 끝.

무리수의 조밀성 증명

약간은 까다로운데 일단 임의의 무리수 x에 대해서 E={qx : q는 무리수}인 집합 E를 생각해보자.

E는 실수에서 조밀한데, x를 일단 양수로 가정하고 a/x 와 b/x도 실수고, (x는 0이 아니니) 유리수는 조밀하니 a/x와 b/x 사이에 유리수가 무조건 존재한다. 따라서 E는 조밀하다.

근데 무리수 * 유리수 = 무리수이기 때문에 무리수도 조밀하다.

이런 조밀성을 바탕으로 유리수가 실수와 다르게 완비성을 가지지 않음을 알 수 있다.

E={x: x^2<2}를 생각해보면, x를 실수로 한정하면 실수의 완비성에 의해 E는 supremum을 가진다.

x가 유리수라는 조건을 생각해보면, supremum을 실제로 가지지 않는데, supremum을 a로 가정하고 모순을 보이면 된다.

supremum이므로 a^2>=2 이어야 한다. (a^2<2라면, a와 2사이에 유리수를 하나 갖는다.)

그런데 루트2는 무리수 이므로 2<a^2이다.

따라서 2와 a사이에 유리수가 있으므로 최소 조건에 모순이다.

공부할게 너무 많다.

유클리드 알고리즘의 최악 케이스

djs100201 — Tue, 8 Jul 2025 22:27:00 +0900

대충 풀이보고 적은거라 오류가 있을 수 있음.