dense 하다는 것이 뭔지 처음 들어봤다 ... ( 집합론 수강을 해야 할지도)
어떤 집합 S가 실수위에서 조밀하다는 것은 모든 a<b인 두 실수 a,b에 대해서 a<s<b를 만족하는 S의 원소 s가 있다는 뜻이다.
유리수의 조밀성 증명
1<(b-a)n을 만족하는 자연수 n이 존재함은 잘 알려져 있다. (Archimedean principle)
이제 1+an의 자연수 부분을 k라고 하면
k<1+an<bn 이고, k<=an+1<k+1이다. 즉 an<k
즉 an<k<bn 우리는 a<k/n<b로 볼수 있고, k,n은 자연수 이므로 증명 끝.
무리수의 조밀성 증명
약간은 까다로운데 일단 임의의 무리수 x에 대해서 E={qx : q는 무리수}인 집합 E를 생각해보자.
E는 실수에서 조밀한데, x를 일단 양수로 가정하고 a/x 와 b/x도 실수고, (x는 0이 아니니) 유리수는 조밀하니 a/x와 b/x 사이에 유리수가 무조건 존재한다. 따라서 E는 조밀하다.
근데 무리수 * 유리수 = 무리수이기 때문에 무리수도 조밀하다.
이런 조밀성을 바탕으로 유리수가 실수와 다르게 완비성을 가지지 않음을 알 수 있다.
E={x: x^2<2}를 생각해보면, x를 실수로 한정하면 실수의 완비성에 의해 E는 supremum을 가진다.
x가 유리수라는 조건을 생각해보면, supremum을 실제로 가지지 않는데, supremum을 a로 가정하고 모순을 보이면 된다.
supremum이므로 a^2>=2 이어야 한다. (a^2<2라면, a와 2사이에 유리수를 하나 갖는다.)
그런데 루트2는 무리수 이므로 2<a^2이다.
따라서 2와 a사이에 유리수가 있으므로 최소 조건에 모순이다.
공부할게 너무 많다.