노력하는 공대생의 공부일지

T0: 서로 다른 x,y잡으면 wlog x의 nbd 중에 y를 포함하지 않는 애가 있음 T1: 서로 다른 x,y잡으면 x의 nbd 중에 y를 포함하지 않는 거랑 y의 nbd 중에 x를 포함하지 않는 것이 있음 T2: x,y를 잡으면 서로 겹치지 않은 nbd가 존재 Regular: closed set F와 F에 없는 원소 x를 잡으면 각각 겹치지 않는 nbd가 존재 T3: T2+ Regular completely Regular: closed set F와 F에 없는 원소 x를 잡으면 f:x->[0,1] 이고 f(x)=0, f(F)=1인 cont map이 존재. T3+1/2 : T2 completely Regular Normal: closed set F,G잡으면 겹치지 않는 nbd가 존재 T4: T2 + no..

Simple Field Extension F/k를 생각해보자. F=k(a)1. 이때 a가 albebraic한 원소면 F 는 k[t]/(irr(a,k))과 동형이다. (irr(a,k)는 field k에서의 a의 minimal polynomial)2. a가 초월적이면 F는 F[t]의 field of fraction과 동형이다. 진짜 매우 엄청 중요한 theorem이다. 1번은 교수님께서 강조하시고 시험/퀴즈에 단골이라서 아예 외워갔었는데 이제 기말고사 공부하다보니 2번도 중요했다. Proof of 1)a가 albegraic하면 irr(a,k)가 존재하고 유일하다. (이건 사전지식으로 깔자)그럼 f(t)=irr(a,k)라고 하면, evaluation homomorphism pi: k[t]->F, g(t)..

수학적으로 엄밀하게 쓰는걸 잘 못하겠다.

유명한 정수론 증명:소수가 유한하다고 가정하고 소수를 나열하자. p1,p2,p3....pn then p1*p2*p3...pn+1 은 어떤 소수로도 나누어지지 않는다. 위상수학적 증명 하 시험에 나올거 같은데 벽느껴지네...이제는 기저를 배웠으니까 기저를 등차수열로 잡는 것이 굳이 S(a,b)로 잡고 정의할 필요 없이 더 쉽게 증명 할수 있다고 한다.

dense 하다는 것이 뭔지 처음 들어봤다 ... ( 집합론 수강을 해야 할지도) 어떤 집합 S가 실수위에서 조밀하다는 것은 모든 a유리수의 조밀성 증명1이제 1+an의 자연수 부분을 k라고 하면k즉 an 무리수의 조밀성 증명약간은 까다로운데 일단 임의의 무리수 x에 대해서 E={qx : q는 무리수}인 집합 E를 생각해보자.E는 실수에서 조밀한데, x를 일단 양수로 가정하고 a/x 와 b/x도 실수고, (x는 0이 아니니) 유리수는 조밀하니 a/x와 b/x 사이에 유리수가 무조건 존재한다. 따라서 E는 조밀하다.근데 무리수 * 유리수 = 무리수이기 때문에 무리수도 조밀하다. 이런 조밀성을 바탕으로 유리수가 실수와 다르게 완비성을 가지지 않음을 알 수 있다.E={x: x^2x가 유리수라는 조건을 생각해보..

역은 자명하다.핵심은 nonunit,nonzero인 원소 r을 잡고 (r,x)가 principle이 아님을 보이면 됨.

commutative ring R와 ideal I.I가 prime ideal 이라는 것은 R/I가 integral domain과 동치이다. I가 maximal ideal 이라는 것은 R/I가 field인 것과 동치이다. 증명은 됐는데 이해는 안되는 느낌이랄까.irreducible, pid 나올 때 부터 너무 어렵다.

처음 생각한 사람 천재다

증명해야할 것commutative ring R의 두 ideal I,J에 대해서, I+J=R이라면 R/IJ 과 (R/I) x (R/J)는 동형이다.f: R-> (R/I) x (R/J) , f(r)=(r,r)증명 흐름 1. f는 surjective 이다.2. I and J = IJ 이다.3. first isomorphism theorm으로 연결

Z/nZ와 Z/mZ의 cartesian product는 Z/nmZ와 동치일까?교수님이 후에 아벨군 뭐시기로 증명한다던데... 배운 범위내에서 풀이를 생각해보았다.뇌피셜이라 틀릴수도...