노력하는 공대생의 공부일지

계산 문제. 아래에 과정을 올려두었다.

f'(x)=0 이라는 건 극값을 갖는 곳. g(f(1))=2라는 건, f(x)의 극값이 t t+2에서 2개 나타나게 하는 t가 존재한다는 것. 따라서 f(x)는 극 값을 2개 가지는 꼴. 삼차함수의 개형을 잘 살펴보면 g(y)=2가 되게하는 y는 유일하므로 f(1)=f(4). (가)조건은 너무 쉬운 조건: 극값을 가지는 f(x)의 x좌표 차가 2일 수 밖에 없다. 따라서 식을 세워 보면, f(x)=(1/2) *(x-a)^2*(x-a+3)+c (a,c는 상수) f(1)=f(4)때려박으면 a=2 or a=1이다. 이때 g(f(0))=1을 이용해 a=1를 찾으면 된다.

개념 복습용 문제. 방학때는 하루에 한문제씩 정수론 문제를 풀려고 한다. 아마 수학 공부하는 스터디도 할거 같은데... 하게 되면 선대할듯? 문제 풀면서 생각하게 된 점. 공부를 너무 안해서... 개념적으로 더 학습해야겠다고 느꼈다. 소수의 무한성 증명 과정 중에서, 소수가 유한하다는 가정을 하고 시작했는데, 사용되는 오일러 파이 함수가 multiplicative 라는 성질과 산술 기본정리가 소수의 무한성에 기반하고 있는 정리가 아니라는 점을 인지한 상태로 풀이를 작성해야 한다. (뭐 여기서는 자명하지만) 나중에 귀류법할때 오류가 생길 여지도 있다. 맨위의 문제는 솔직히 쉬운 개념문제인데, 개념이 없었던 나에게 개념을 각인시켜준 문제다. 착한 연습문제. 아 그리고 마지막 문제는 학교 과제였는데 과제때는 ..

1.$sin(pi*f(0))=0$이어야 한다. 2.$g(x)=sin(pi*f(x))$로 두면 $g'(0)=0$ 이다.이를 풀면 $cos(pi*f(0))=0$ 이거나 $f'(0)=0$ 인데, sin 과 cos 은 동시에 0일 수 없으므로 $f'(0)=0$ 아주 중요한 조건을 얻었으므로 $f(x)=9*x^2(x-3a) + c$로 둘 수 있다. 여기서 문제의 조금 아래를 보면, $g(x)$가 실수 전체의 연속이므로, $g(0)=g(1)$ 따라서 $c=9*(1-3a)+c$. 따라서 $a=1/3$ 극댓값은 $c$, 극솟값은 $c-4/3$ (계산해보면 된다.) 곱해서 5가 된다는 조건을 해석하면 $c=-3/5$ or $ c=3 $ 그런데 1번 조건에 의해 c=3. 따라서 $9x^2(x-1)+3$ 계산 쉽게 하기. ..

오답률 높은거부터 쭉 풀어보고 있는데 조금 쉬운걸 보니 문제 자체가 준킬러가 여러개인 유형으로 바뀌는 중인가 보다. 수험생이 아니라 확실히는 모르겠다 ㅎㅎ. g(x)를 살펴볼때 f(x-3) 오른쪽을 잘 살펴보는게 중요하다. h(x)=|f(x)|로 보면 오른쪽 식은 -2*h'(x)임을 쉽게 보일수있다. 그렇다면, g(x)의 서로 다른 실근은, f(x-3)=0인점,h'(x)가 0인점이다. 어떤 함수에 절댓값 함수를 씌우면, y=0이라는 직선을 긋고 위로 뒤집는다. 삼차함수에는 여러가지 꼴이 있는데, g(x)의 실근의 개수가 4개이려면, y=0에 접하는 x가 있다는 것을 알 수 있다. 따라서 f(x)=(x-a)^2(x-b) 꼴이어야 한다. 이때, f(x-3)=0의 근은 a+3,b+3이고, h'(x)=0의 근은..

이렇게 쉬운 걸 왜 틀렸는지 모르겠는데 틀려버렸다. 더 열심히 해야겠다. 끝나고 답안지 스캔하자마자 실수한게 보였다. 아침에 하는 수업이라 그런지 머리가 안돌아갔나보다... Q. prove that ad-bc=1,gcd(m,n)=1----> gcd(am+bn,cm+dn)=gcd(m,n) gcd(a,c)=1임을 쉽게 알 수있다. a-kc=1이 되는 k가 존재한다. gcd(am+bn,cm+dn)=gcd(m,(dk-b)n)이다. gcd(m,n)=1이므로 증명 끝. 실수한것. 마지막에 gcd(m,n)=1이용해서 증명했어야 하는데 a-kc=1d 이면서, dk-b=1이 되는 k가 존재한다고 썼다.

문제가 어렵다... 30번 치고는 그래도 할만했던 수준이고, 허용할 수 있는정도의 어려움인 것같다. 우리는 g(x)의 표현된 꼴을 보자마자, 합성함수로 함수를 바꿔서 나타내자라는 생각이 하는것이 어찌보면 당연해야 한다. k(x)=2^x로 정의하면 g(x) 내부의 식이|(f(k(x+h))-f(h(x)))/h|로 바뀌게 된다. 이때 우리는 합성함수의 정의를 사용하면 |f′(k(x))*k′(x)|로 나타낼수 있다. 이때 k′(x)= ln2이므로 밖으로 빼낸다. |f′(x)|의 연속성을 따져보자. f′(x)자체는 불연속이다. 어디에서? x가 정수가나오는 지점에서 말이다. cf) (-2,0,2)가 반복되어서 나오는 형태이다. 그런데 절댓값을 씌어서 따지게 되면, (2,0,2)가 반복되어 나오므로, (2,0,2)(..

log의 성질을 이용하면 아주 쉽다. log의 합은 곱으로 변신시킬수 있다! 1부터 m까지 a(n)= 로 나타낼수 있다. 문제에서 우리는 위 값이 100이하인 자연수가 되게 하는 모든 m값들을 뽑아내야 한다. 1.자연수가 되어야 하고 2.100 이하가 되어야 한다. 2.조건을 먼저 사용하자. 로그의 성질을 이용하면 루트는 1/2제곱한 것으로 볼수 있으므로 위 식이 2의 200제곱이하가 되어야 한다. 이때 1번조건을 살펴보자. 그렇다면 위 식이 2의 200제곱이하뿐만이 아니라 2의 k제곱 꼴이 나와야 함을 알 수 있다.(k

풀이 올리다가 3번 날려먹음 ㅠㅠ 우리가 구하고자 하는 값은 g(x)의 3에서부터 6까지의 정적분 값이다. 따라서 g(x)를 적분하고자 하는 것은 굉장히 자연스럽다. 그런데 [2n-1, 2n+1]구간에서 g(x)= f(x-2n)+6n 이 성립한다. 따라서 f(x-2n)+6n을 2n-1에서 2n+1까지 적분하자. 이때, 6n은 x의 입장에서 상수이고, f(x-2n)을 2n-1, 2n+1까지 적분하는 것은,f(x)를 평행이동 시킨 식으로 생각하면, -1에서부터 1까지 f(x)의 적분과 같다. (치환적분으로 생각해도 좋다). 그렇기 때문에 아래와 같은 식이 성립한다. 이때 f(x)가 원점 대칭이므로 -1부터 1까지 f(x)의 정적분 값은 0이다. 이때 n에 2를 대입하자 그렇다면, g(x)의 3에서 부터 5까..