노력하는 공대생의 공부일지

계절학기로 늦은 집합론을 들었다. 오늘 혼자 운동하다가 직선이 총 얼마나 있을까라는 생각을 하게 되었다.베르트랑의 역설을 생각하다가 직선에 대한 집합이 궁금해졌다.직선은 y=mx+b꼴로 표현되거나, x=c꼴로 표현되는 집합의 합집합이다.이때 m,b,c는 전부 독립적인 실수 이므로 R*R의 cardinality를 가짐을 알 수 있고 이는 집합론에서 잘 알려진 사실로 |R|과 같다. 또 다른 관점으로 어떤 직선이 있을 때 이 직선을 대표하는 representative를 어떻게 잡을 수 있을지를 생각해보자.점과 직선에 대한 관점으로 바라보면 좋은데, 원점을 지나는 직선과 지나지 않은 직선으로 생각을 해보자.1. 원점을 지나는 직선y=mx꼴이고 m은 실수이므로 |R|개가 존재한다. 2. 원점을 지나지 않는 직선..

T0: 서로 다른 x,y잡으면 wlog x의 nbd 중에 y를 포함하지 않는 애가 있음 T1: 서로 다른 x,y잡으면 x의 nbd 중에 y를 포함하지 않는 거랑 y의 nbd 중에 x를 포함하지 않는 것이 있음 T2: x,y를 잡으면 서로 겹치지 않은 nbd가 존재 Regular: closed set F와 F에 없는 원소 x를 잡으면 각각 겹치지 않는 nbd가 존재 T3: T2+ Regular completely Regular: closed set F와 F에 없는 원소 x를 잡으면 f:x->[0,1] 이고 f(x)=0, f(F)=1인 cont map이 존재. T3+1/2 : T2 completely Regular Normal: closed set F,G잡으면 겹치지 않는 nbd가 존재 T4: T2 + no..

Simple Field Extension F/k를 생각해보자. F=k(a)1. 이때 a가 albebraic한 원소면 F 는 k[t]/(irr(a,k))과 동형이다. (irr(a,k)는 field k에서의 a의 minimal polynomial)2. a가 초월적이면 F는 F[t]의 field of fraction과 동형이다. 진짜 매우 엄청 중요한 theorem이다. 1번은 교수님께서 강조하시고 시험/퀴즈에 단골이라서 아예 외워갔었는데 이제 기말고사 공부하다보니 2번도 중요했다. Proof of 1)a가 albegraic하면 irr(a,k)가 존재하고 유일하다. (이건 사전지식으로 깔자)그럼 f(t)=irr(a,k)라고 하면, evaluation homomorphism pi: k[t]->F, g(t)..

문제:정수 -10^7 x^2 + px+kp의 해가 모두 정수가 되도록 하는 서로 다른 p의 개수와 합을 구하시오.한글 문제인데 바로 안 보여서 오래 고민했다..일반성을 잃지 않고 두 근을 a -p=a+bkp=ab이다.그런데, -p=a+b따라서 -k=kp/(-p) =ab/(a+b)>=ab/2b=a/2|a|a가 고정되면 p는 결정적으로 정해진다.

수학적으로 엄밀하게 쓰는걸 잘 못하겠다.

유명한 정수론 증명:소수가 유한하다고 가정하고 소수를 나열하자. p1,p2,p3....pn then p1*p2*p3...pn+1 은 어떤 소수로도 나누어지지 않는다. 위상수학적 증명 하 시험에 나올거 같은데 벽느껴지네...이제는 기저를 배웠으니까 기저를 등차수열로 잡는 것이 굳이 S(a,b)로 잡고 정의할 필요 없이 더 쉽게 증명 할수 있다고 한다.

UCPC: 예선 14등 / 본선 18등A번 못 풀었다. 내가 풀어야했던 B번은 풀었고, J번은 보자마자 풂.A번 못 풀어서 망한줄 알았는데, 생각보다 등수가 높아서 아쉬웠다. 예선은 고점..SUAPC : 4등 냅색 조건문 부등호 반대로 해서 개망했다. 개트롤 1등공신SCPC: 수상 x1,2번 풀고 너무 못 긁었다. 4번에서 젤 쉬운 테케 못 긁고 1시간 버린게 너무 슬펐다. 5번이나 읽을걸LGCPC: 본선 16등 1,2번 풀고 3번에 20점 4번에 6점 긁었다.팀노트가 없어서 FFT가 없어서 억울했다. 근데 뭐... 3등안에는 뭘해도 못 들었을 듯 NYPC 코드배틀: 본선 진출 ps대회는 아니긴 한데 To be continued... Gameaify 해커톤: ㅠㅠ 더 있었던거 같은데 기억이 안난다. 결국..

dense 하다는 것이 뭔지 처음 들어봤다 ... ( 집합론 수강을 해야 할지도) 어떤 집합 S가 실수위에서 조밀하다는 것은 모든 a유리수의 조밀성 증명1이제 1+an의 자연수 부분을 k라고 하면k즉 an 무리수의 조밀성 증명약간은 까다로운데 일단 임의의 무리수 x에 대해서 E={qx : q는 무리수}인 집합 E를 생각해보자.E는 실수에서 조밀한데, x를 일단 양수로 가정하고 a/x 와 b/x도 실수고, (x는 0이 아니니) 유리수는 조밀하니 a/x와 b/x 사이에 유리수가 무조건 존재한다. 따라서 E는 조밀하다.근데 무리수 * 유리수 = 무리수이기 때문에 무리수도 조밀하다. 이런 조밀성을 바탕으로 유리수가 실수와 다르게 완비성을 가지지 않음을 알 수 있다.E={x: x^2x가 유리수라는 조건을 생각해보..

대충 풀이보고 적은거라 오류가 있을 수 있음.

역은 자명하다.핵심은 nonunit,nonzero인 원소 r을 잡고 (r,x)가 principle이 아님을 보이면 됨.