나를 위한 Separation Axioms 간단 정리

T0: 서로 다른 x,y잡으면 wlog x의 nbd 중에 y를 포함하지 않는 애가 있음

 

T1: 서로 다른 x,y잡으면 x의 nbd 중에 y를 포함하지 않는 거랑 y의 nbd 중에 x를 포함하지 않는 것이 있음

 

T2: x,y를 잡으면 서로 겹치지 않은 nbd가 존재

 

Regular: closed set F와 F에 없는 원소 x를 잡으면 각각 겹치지 않는 nbd가 존재

 

T3: T2+ Regular

 

completely Regular: closed set F와 F에 없는 원소 x를 잡으면 f:x->[0,1] 이고 f(x)=0, f(F)=1인 cont map이 존재.

 

T3+1/2 : T2 completely Regular

 

Normal: closed set F,G잡으면 겹치지 않는 nbd가 존재

 

T4: T2 + normal

 

아래는 GPT

Separation Axioms 정리 (T0 ~ T4)

T0 (Kolmogorov)
서로 다른 두 점 x ≠ y 중 하나는 자신의 열린근방이 다른 점을 포함하지 않는다.

T1 (Fréchet)
서로 다른 두 점 x ≠ y 에 대해

• x의 열린근방 중 y를 포함하지 않는 것이 있고
• y의 열린근방 중 x를 포함하지 않는 것이 있다.
  (모든 {x} 가 closed)

T2 (Hausdorff)
서로 다른 두 점 x ≠ y 에 대해
서로소(open)인 열린근방 U, V 가 존재한다.
x ∈ U, y ∈ V, U ∩ V = ∅.

Regular
닫힌집합 F 와 점 x ∉ F 에 대해
서로소 열린근방 U, V 가 존재한다.
x ∈ U, F ⊂ V, U ∩ V = ∅.

Completely Regular
닫힌집합 F 와 점 x ∉ F 에 대해
연속함수 f : X → [0,1] 가 존재하여
f(x) = 0, f(F) = {1}.

Normal
서로소 두 닫힌집합 F, G 에 대해
서로소 열린근방 U, V 가 존재한다.
F ⊂ U, G ⊂ V, U ∩ V = ∅.

T3 (Regular Hausdorff)
T2 + Regular

T3½ (Tychonoff = Completely Regular Hausdorff)
T2 + Completely Regular

T4 (Normal Hausdorff)
T2 + Normal