계절학기로 늦은 집합론을 들었다.
오늘 혼자 운동하다가 직선이 총 얼마나 있을까라는 생각을 하게 되었다.
베르트랑의 역설을 생각하다가 직선에 대한 집합이 궁금해졌다.
직선은 y=mx+b꼴로 표현되거나, x=c꼴로 표현되는 집합의 합집합이다.
이때 m,b,c는 전부 독립적인 실수 이므로 R*R의 cardinality를 가짐을 알 수 있고 이는 집합론에서 잘 알려진 사실로 |R|과 같다.
또 다른 관점으로 어떤 직선이 있을 때 이 직선을 대표하는 representative를 어떻게 잡을 수 있을지를 생각해보자.
점과 직선에 대한 관점으로 바라보면 좋은데, 원점을 지나는 직선과 지나지 않은 직선으로 생각을 해보자.
1. 원점을 지나는 직선
y=mx꼴이고 m은 실수이므로 |R|개가 존재한다.
2. 원점을 지나지 않는 직선
직선이 다르다면, 원점에서 직선에 내린 수선의 발에 따라 직선이 유일하게 결정된다. 다르게 말하면 RxR위의 어떤 점 (a,b)에서 원점과 (a,b)를 이은 직선에 수직인 직선을 유일하게 그릴 수 있으므로 RxR개가 존재한다.
또 동일하게 |RXR| + |R| 이므로 |R|이 된다.
아래는 gpt로 보기 좋게 한 것..
