Simple Extension

Simple Field Extension F/k를 생각해보자. F=k(a)

1. 이때 a가 albebraic한 원소면 F 는 k[t]/(irr(a,k))과 동형이다. (irr(a,k)는 field k에서의  a의 minimal polynomial)

2. a가 초월적이면 F는 F[t]의 field of fraction과 동형이다.

 

진짜 매우 엄청 중요한 theorem이다. 1번은 교수님께서 강조하시고 시험/퀴즈에 단골이라서 아예 외워갔었는데 이제 기말고사 공부하다보니 2번도 중요했다.

 

 

Proof of 1)

a가 albegraic하면 irr(a,k)가 존재하고 유일하다. (이건 사전지식으로 깔자)

그럼 f(t)=irr(a,k)라고 하면, evaluation homomorphism  pi: k[t]->F, g(t)->g(a)를 두자. 어떤 field의 kernel이 (0)이 아닌데, (0이면 trivial field) 그렇다면 k[t]는 pid이니까, ker pi=(irr(a,t))이다. 그런데 ideal ( irr(a,k) )는 k[t]/( irr(a,k) )가 integral domain이니까 prime ideal이고 k[t]가 pid여서 prime ideal 과 maximal ideal은 동치가 된다. 그렇다면 사실 k[t]/( irr(a,k) 는 field이다. 

그러면 k[t]/( irr(a,k) )->F로의 homomorphism은 isomorphism이 되고  [F:k]=dim(irr(a,k))를 얻는다.

 

이게 교과서에 나온 증명이고 

이걸 추가로 생각하면 좀 더 쉽다.
2번은 추후에 작성예정..