2020년 3월 고3 모의고사 수학 가형30번 풀이 & 해설

 

3월달 30번!

 

확실히 교육청에서 내는 문제인 만큼, 평가원 문제수준의 사고를 요하진 않는다. 많이 노출된 유형이었기에 공부를 열심히 한 학생들이라면, 문제를 풀어내진 못하더라도, 몇가지 조건을 뽑아내고 풀려는 시도까지도 연결될 수 있었을 것이다.

개인적으로 이번시험에서 29번이 더 어렵다고 느껴졌다. 그래도 29번 보다는 30번이 공부를 할 때 더 가치있는 문제처럼 보이기는 한다.

 

 

풀이시작

(색칠된 문장만 읽으셔도 됩니다.)

 

교육청에서 제공된 풀이는 가 조건을, f(x)의 관점에서 바라보고 문제를 해결한다. 이번에는 g(x)위주로 조건을 해석하고, 문제를 풀어보자!

 

미적분학의 기본정리에 의해 g′(x)=f(x)이다. f(x)는 최고차항이 4인 삼차함수 이므로, g(x)는 최고차항이 1인 사차함수다.

조건을 살펴보자.

 

(가)

   f′(a)=0---->g′′(a)=0으로 해석하자. 

 

어떤 함수 h(x),k(x)에 대해  | h(x)-k(x) | 의 미분가능성의 판단을 일반화 하자. h(x)-k(x) =p(x) 로 둔다면, | p(x) | 의 미분가능성이다. 이때 우리는 절대값 함수를 어떤 원래의 함수를 x축에 대해 접어 올린것으로 이해할 수 있다. 이때 p(x)전체가 미분가능했다면, |p(x)|의 미분가능성에 영향을 주는 요인은, p(x)=0 이 되는 지점이다. 즉 p(x)=0 이 되는 지점이면서 p′(x)=0이 아니라면, p(x)는 그지점에서 미분 불가능하다. 이때 p′(x)=h′(x)-k′(x)이다. 따라서 k(x)=상수 라면, h′(x)=0 이 되어야 한다.

 

따라서 원래의 문제로 되돌아가보면, 우리는 g(x)라는 함수의 그래프에서, (a,g(a))을 지나는 x축과 평행한 한쌍의 직선을 그어, 만나는 모든 점에서의 미분계수가 0이 아니라면 미분불가능 하다. 

 

(나)

   가능한 그래프는 g(x)=(x-a)³(x-b)+상수 인 경우 뿐이다. 이때 h(t)=g(a)로 정의되므로 g(x)=(x-a)³(x-b)+h(t)이다.

 

  이때 처음정의된 식에 의해 g(t)=0 이므로, (t-a)³(t-b)+h(t)=0  h(t)=-(t-a)³(t-b)----> g(x)의 그래프를 위아래로 뒤집고, a,b에서 y좌표가 0이될때까지 그래프를 평행이동 시켜 내려주면 된다.  이때 h(3)=0 이고 h(2)=27이 최대값일 때, 그래프의 형태를 잘 살펴보면, b=3 임을 알 수 있다. 사차함수가 삼중근을 가질때, 비율관계에 의해 a=-1임을 알 수 있다. (3:1 모르겠으면 미분하면 됨.)   

  따라서 g(x)=(x+1)³(x-3)+h(t) 이고   g′(x)=f(x)이므로 f(5)= g′(5)  =432