2020년 3월 모의고사 고3 수학 나형 21 풀이 및 해설

 이번시험에서 가장 정답률이 낮기도 했고, 어려웠다고 생각되는 문제는 29번이었다. 확실히 사인법칙 코사인법칙이 문제에 쓰이기 시작하면서, 기하학적 감각을 요하는 문제들에 결합된 형태가 어렵게 느껴질 수도, 반대로 쉽게 느껴질 수도 있는 것 같다. 반대로  21번 같은 문제는 '경험'이 필요하다. 비슷한 문제를 풀어보면서 합성함수에 대한 감각을 익혀낼 수 있다. 

 

(색표시된 것만 읽으셔도 됩니다.)

 

합성함수의 최대최소에 관한 몇가지 이야기 

 합성함수 h(k(x)) 가 있다. 이때 h(x)의 최대 최소에 관환 이야기를 한다면, 우리는 두가지 부분에서 살펴보아야 한다. 바로 h(x)의 정의역과 k(x)의 치역을 말이다. h(x)가 최솟값을 가진다고 하더라도, k(x)의 치역에 h(x) 가 최소가 되는 점의 x값이 포함되지 않는다면 의미가 없다는 말이다. 예를 들어,  h(x)=x² k(x)=x²+1 이라 하자  h(x) 가 최소가 되는 점은 x=0 그런데, k(x)>0이다. 따라서 h(x)가 최소가 되는 점과, h(k(x))가 최소가 되는 점은 분명 차이가 있다.

 

 

 

조건 (가) ------> f(x)는 극대와 극소를 모두 갖는 삼차방정식의 형태임을 추론할 수 있다.

 

(나)조건을 해석하기에 앞서 모든 삼차함수는 치역이 실수 전체이다.  왜냐? x를 -∞ 혹은 +∞로 보내게 되면, 함수값 자체가 -∞ 또는 +∞ 로 가까이 가고, 3차함수의 개형자체를 살펴보면 된다.

 

 

조건(나) -----> g(x)는 x=3 에서 최솟값을 갖는다. 그런데 f(x)=3의 해가 반드시 존재하므로(∵f(x) = 3차 함수)  g(f(x)) 가 최소가 되는 서로 다른 실근은, f(x)=3 이 되는 점의 x 좌표 들이다. 그런데 삼차함수에서 x축에 평행한 직선을 그었을때 만나는 점이 2개가 되려면, 극값일 경우뿐이다. 즉 f(x)의 극대 혹은 극소값은 3이다. 그런데 f(x)는 세 실근을 갖는다는 사실에서 극솟값이 0보다 작음을 알수있고 f(x)의 극댓값이 3이라는 사실을 알 수 있다.

 

조건(다) ----->g(f(x))=17 이 서로다른 세실근을 갖는다. 우선 g(x)=17 이 되려면, x²-6x+10=17 --> x²-6x-7=0

x=7 or x=-1   즉 f(x)=7 or f(x)=-1이 되는 x 좌표의 개수가 3개라는 것이다. 그런데 조건 (나)에서 f(x)의 극댓값이 3이라고 했으므로, f(x)=7의 근은 1개이다. 따라서 f(x)=-1의 근이 2개이므로, f(x)의 극솟값은 -1이 된다.

 

따라서 극댓값과 극솟값의 핪은 (3+-1) =2 이다.

Answer: 1번